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Beliebt Trigonometrie >

-3cos(2θ)+2sin(θ)+5=9sin(θ)

Lösung

- 3 cos (2 θ) + 2 sin (θ) + 5 = 9 sin (θ)

Lösung

θ = 0.72972 \dots + 2 πn, θ = π - 0.72972 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 41.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 138.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 3 cos (2 θ) + 2 sin (θ) + 5 = 9 sin (θ)

Subtrahiere

9 sin (θ)

von beiden Seiten

- 3 cos (2 θ) - 7 sin (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 - 3 cos (2 θ) - 7 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 5 - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 7 sin (θ)

Vereinfache

5 - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 7 sin (θ) : 6 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) + 2

5 - 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) - 7 sin (θ)

Multipliziere aus

- 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 3 + 6 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) \cdot 2 sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ) : - 3 + 6 sin^{2} (θ)

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= - 3 + 6 sin^{2} (θ)

= - 3 + 6 sin^{2} (θ)

= 5 - 3 + 6 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 3 = 2

= 6 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) + 2

= 6 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) + 2

2 + 6 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 6 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

2 + 6 u^{2} - 7 u = 0

2 + 6 u^{2} - 7 u = 0 : u = \frac{2}{3}, u = \frac{1}{2}

2 + 6 u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - 7 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 7, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2}{2 \cdot 6}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1

(- 7)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Subtrahiere die Zahlen:

49 - 48 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 1}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 6} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 + 1}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

7 + 1 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 6} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7 - 1}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 1 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2}{3}, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{2}{3}, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{2}{3}, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{2}{3} : θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{2}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.72972 \dots + 2 πn, θ = π - 0.72972 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3+sin(x)=5cos(2x)

3 + sin (x) = 5 cos (2 x)

cos(x)= 15/20

cos (x) = \frac{15}{20}

asin(x)+bcos(x)=0

a sin (x) + b cos (x) = 0

tan(2x)=-0.025

tan (2 x) = - 0.025

47=cos(x),x

4 7^{\circ} = cos (x), x