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Beliebt Trigonometrie >

6cos(2x)-cos(x)-1=0

Lösung

6 cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 0.63247 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.63247 \dots + 2 πn, x = 2.37926 \dots + 2 πn, x = - 2.37926 \dots + 2 πn

Grad

x = 36.23833 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 323.76166 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 136.32194 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 136.32194 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (x) + 6 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - cos (x) + 6 (2 cos^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 1 - cos (x) + 6 (2 cos^{2} (x) - 1) : 12 cos^{2} (x) - cos (x) - 7

- 1 - cos (x) + 6 (2 cos^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

6 (2 cos^{2} (x) - 1) : 12 cos^{2} (x) - 6

6 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 6, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 6 \cdot 2 cos^{2} (x) - 6 \cdot 1

Vereinfache

6 \cdot 2 cos^{2} (x) - 6 \cdot 1 : 12 cos^{2} (x) - 6

6 \cdot 2 cos^{2} (x) - 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= 12 cos^{2} (x) - 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 1 = 6

= 12 cos^{2} (x) - 6

= 12 cos^{2} (x) - 6

= - 1 - cos (x) + 12 cos^{2} (x) - 6

Vereinfache

- 1 - cos (x) + 12 cos^{2} (x) - 6 : 12 cos^{2} (x) - cos (x) - 7

- 1 - cos (x) + 12 cos^{2} (x) - 6

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (x) + 12 cos^{2} (x) - 1 - 6

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 6 = - 7

= 12 cos^{2} (x) - cos (x) - 7

= 12 cos^{2} (x) - cos (x) - 7

= 12 cos^{2} (x) - cos (x) - 7

- 7 - cos (x) + 12 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 7 - cos (x) + 12 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 7 - u + 12 u^{2} = 0

- 7 - u + 12 u^{2} = 0 : u = \frac{1 + 337}{24}, u = \frac{1 - 337}{24}

- 7 - u + 12 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

12 u^{2} - u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

12 u^{2} - u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 12, b = - 1, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 12 ( - 7 )}{2 \cdot 12}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 12 ( - 7 )}{2 \cdot 12}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 12 (- 7) = 337

(- 1)^{2} - 4 \cdot 12 (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 12 \cdot 7

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 12 \cdot 7 = 336

4 \cdot 12 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 12 \cdot 7 = 336

= 336

= 1 + 336

Addiere die Zahlen:

1 + 336 = 337

= 337

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 337}{2 \cdot 12}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 337}{2 \cdot 12}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 337}{2 \cdot 12}

u = \frac{- ( - 1 ) + 337}{2 \cdot 12} : \frac{1 + 337}{24}

\frac{- ( - 1 ) + 337}{2 \cdot 12}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 337}{2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{1 + 337}{24}

u = \frac{- ( - 1 ) - 337}{2 \cdot 12} : \frac{1 - 337}{24}

\frac{- ( - 1 ) - 337}{2 \cdot 12}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 337}{2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{1 - 337}{24}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 337}{24}, u = \frac{1 - 337}{24}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 337}{24}, cos (x) = \frac{1 - 337}{24}

cos (x) = \frac{1 + 337}{24}, cos (x) = \frac{1 - 337}{24}

cos (x) = \frac{1 + 337}{24} : x = arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 337}{24}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 337}{24}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 337}{24}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 337}{24} : x = arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 337}{24}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 337}{24}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 337}{24}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 337}{24}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 337}{24}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.63247 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.63247 \dots + 2 πn, x = 2.37926 \dots + 2 πn, x = - 2.37926 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

8cos^2(x)-10sin(x)-11=0

8 cos^{2} (x) - 10 sin (x) - 11 = 0

6sin(x)=cos(x)-2

6 sin (x) = cos (x) - 2

csc(3x)-2=0

csc (3 x) - 2 = 0

cos(20)+14sin^2(θ)=10

cos (2 0^{\circ}) + 14 sin^{2} (θ) = 10

cos(2x-pi/3)=-1/2

cos (2 x - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}