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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sin(x))/(1-cos(x))-cot(x)=csc(x)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - cot (x) = csc (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - cot (x) = csc (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - cot (x)

Drücke mit sin, cos aus

- cot (x) + \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

Vereinfache

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} : \frac{- cos ( x ) ( - cos ( x ) + 1 ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

- \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (x), 1 - cos (x) : sin (x) (- cos (x) + 1)

sin (x), 1 - cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (x)

oder

1 - cos (x)

auftauchen.

= sin (x) (- cos (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (x) (- cos (x) + 1)

Für

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- cos (x) + 1

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Für

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x)

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{( 1 - cos ( x ) ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= - \frac{cos ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) ( - cos ( x ) + 1 ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= \frac{- cos ( x ) ( - cos ( x ) + 1 ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) - ( 1 - cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 - cos ( x ) ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( x ) - ( 1 - cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 - cos ( x ) ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x ) - ( 1 - cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 - cos ( x ) ) sin ( x )}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) - ( 1 - cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 - cos ( x ) ) sin ( x )} : \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) - ( 1 - cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 - cos ( x ) ) sin ( x )}

Multipliziere aus

1 - cos^{2} (x) - (1 - cos (x)) cos (x) : - cos (x) + 1

1 - cos^{2} (x) - (1 - cos (x)) cos (x)

= 1 - cos^{2} (x) - cos (x) (1 - cos (x))

Multipliziere aus

- cos (x) (1 - cos (x)) : - cos (x) + cos^{2} (x)

- cos (x) (1 - cos (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - cos (x), b = 1, c = cos (x)

= - cos (x) \cdot 1 - (- cos (x)) cos (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot cos (x) + cos (x) cos (x)

Vereinfache

- 1 \cdot cos (x) + cos (x) cos (x) : - cos (x) + cos^{2} (x)

- 1 \cdot cos (x) + cos (x) cos (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 \cdot cos (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= - cos (x) + cos^{2} (x)

= - cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x) - cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

1 - cos^{2} (x) - cos (x) + cos^{2} (x) : - cos (x) + 1

1 - cos^{2} (x) - cos (x) + cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - cos (x) + cos^{2} (x) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 0

= - cos (x) + 1

= - cos (x) + 1

= \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x ) ( - cos ( x ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- cos (x) + 1

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (1-tan(x))^2=sec^2(x)-2tan(x)

p ro v e (1 - tan (x))^{2} = sec^{2} (x) - 2 tan (x)

beweisen sin(2x)=2sin(x)cos(x)

p ro v e sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

beweisen csc(x)-cot(x)cos(x)=sin(x)

p ro v e csc (x) - cot (x) cos (x) = sin (x)

beweisen cos(2x)=1-2sin^2(x)

p ro v e cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

beweisen (tan^2(x))/(sec(x))=sec(x)-cos(x)

p ro v e \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x )} = sec (x) - cos (x)