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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sec^2(θ))/(sec^2(θ)-1)=csc^2(θ)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ ) - 1} = csc^{2} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ ) - 1} = csc^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( θ )}{- 1 + sec ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{1}{- cos ^{2} ( θ ) + 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )} )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{- c o s ^{2} ( θ ) + 1}{c o s ^{2} ( θ )} cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere

cos^{2} (θ) \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} : - cos^{2} (θ) + 1

cos^{2} (θ) \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= - - cos^{2} (θ) + 1

= \frac{1}{- cos ^{2} ( θ ) + 1}

= \frac{1}{- cos ^{2} ( θ ) + 1}

= \frac{1}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

csc^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(pi-θ)=-cos(θ)

p ro v e cos (π - θ) = - cos (θ)

beweisen cos^4(θ)-sin^4(θ)=cos(2θ)

p ro v e cos^{4} (θ) - sin^{4} (θ) = cos (2 θ)

beweisen sin(θ)-sin(θ)cos^2(θ)=sin^3(θ)

p ro v e sin (θ) - sin (θ) cos^{2} (θ) = sin^{3} (θ)

beweisen csc^4(x)-cot^4(x)=2csc^2(x)-1

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 csc^{2} (x) - 1

beweisen (tan(θ)cot(θ))/(csc(θ))=sin(θ)

p ro v e \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{csc ( θ )} = sin (θ)