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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sec^2(x)-1)csc(x)=sin(x)sec^2(x)

Lösung

beweisen

(sec^{2} (x) - 1) csc (x) = sin (x) sec^{2} (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

(sec^{2} (x) - 1) csc (x) = sin (x) sec^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

(sec^{2} (x) - 1) csc (x)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (x)) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) \frac{1}{sin ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} )}{sin ( x )}

1 \cdot (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) = - 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

1 \cdot (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2})

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) = (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2})

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2})

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sin ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{sin ( x )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{2} ( x )}}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{sin ( x )}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( x ) sec ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (x) sin (x)

sec^{2} (x) sin (x)

sec^{2} (x) sin (x)

= sin (x) sec^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (1+csc(x))/(sec(x))-cot(x)=cos(x)

p ro v e \frac{1 + csc ( x )}{sec ( x )} - cot (x) = cos (x)

beweisen 1/(1+cos(x))+1/(1-cos(x))=2csc^2(x)

p ro v e \frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 2 csc^{2} (x)

beweisen (csc(-x))/(sec(-x))=-cot(x)

p ro v e \frac{csc ( - x )}{sec ( - x )} = - cot (x)

beweisen cos(x-y)+cos(x+y)=2cos(x)cos(y)

p ro v e cos (x - y) + cos (x + y) = 2 cos (x) cos (y)

beweisen sin(pi/6+x)+sin(pi/6-x)=cos(x)

p ro v e sin (\frac{π}{6} + x) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)