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beweisen 1-cos(2x)=tan(x)sin(2x)

Lösung

beweisen

1 - cos (2 x) = tan (x) sin (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - cos (2 x) = tan (x) sin (2 x)

Manipuliere die rechte Seite

tan (x) sin (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (2 x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} : 2 sin^{2} (x)

\frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

- 2 sin^{2} (x) = cos (2 x) - 1

= - (cos (2 x) - 1)

Vereinfache

- (cos (2 x) - 1) : - cos (2 x) + 1

- (cos (2 x) - 1)

Setze Klammern

= - (cos (2 x)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - cos (2 x) + 1

= - cos (2 x) + 1

= - cos (2 x) + 1

= 1 - cos (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 = sec^{2} (2 x) - tan^{2} (2 x)

p ro v e 2 cot (2 x) = cot (x) - tan (x)

p ro v e cos (\frac{π}{2} + x) = - sin (x)

p ro v e cos (x) = cos (- x)

p ro v e \frac{1}{cot ( x ) + 1} + \frac{1}{tan ( x ) + 1} = 1