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人気のある三角関数 >

証明する tan(x/2)+cot(x/2)=2csc(x)

解

証明する

tan (\frac{x}{2}) + cot (\frac{x}{2}) = 2 csc (x)

解

真

解答ステップ

tan (\frac{x}{2}) + cot (\frac{x}{2}) = 2 csc (x)

仮定:

u = \frac{x}{2}

tan (u) + cot (u) = 2 csc (2 u)

以下を証明する

tan (u) + cot (u) = 2 csc (2 u) :

真

tan (u) + cot (u) = 2 csc (2 u)

左側を操作する

tan (u) + cot (u)

サイン, コサインで表わす

cot (u) + tan (u)

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} + tan (u)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

簡素化

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

以下の最小公倍数:

sin (u), cos (u) : sin (u) cos (u)

sin (u), cos (u)

最小公倍数 (LCM)

sin (u)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

cos (u)

= sin (u) cos (u)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

sin (u) cos (u)

\frac{cos ( u )}{sin ( u )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (u)

\frac{cos ( u )}{sin ( u )} = \frac{cos ( u ) cos ( u )}{sin ( u ) cos ( u )} = \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

\frac{sin ( u )}{cos ( u )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (u)

\frac{sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{sin ( u ) sin ( u )}{cos ( u ) sin ( u )} = \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )} + \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u ) sin ( u )}

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{\frac{s i n ( 2 u )}{2}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u ) ) \cdot 2}{sin ( 2 u )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 u )}

簡素化

= \frac{2}{sin ( 2 u )}

= \frac{2}{sin ( 2 u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

基本的な三角関数の公式を使用する:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{\frac{1}{c s c ( 2 u )}}

簡素化

\frac{2}{\frac{1}{c s c ( 2 u )}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ( 2 u )}{1}

規則を適用

\frac{a}{1} = a

= 2 csc (2 u)

2 csc (2 u)

2 csc (2 u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

tan (\frac{x}{2}) + cot (\frac{x}{2}) = 2 csc (x)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sin((3pi)/2+x)=-cos(x)

p ro v e sin (\frac{3 π}{2} + x) = - cos (x)

証明する sec(u)+tan(u)=(cos(u))/(1-sin(u))

p ro v e sec (u) + tan (u) = \frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )}

証明する cos(x-pi/6)-cos(x+pi/6)=sin(x)

p ro v e cos (x - \frac{π}{6}) - cos (x + \frac{π}{6}) = sin (x)

証明する tan(2θ)=(2tan(θ))/(1-tan^2(θ))

p ro v e tan (2 θ) = \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

証明する 1-tan^2(x)=2-sec^2(x)

p ro v e 1 - tan^{2} (x) = 2 - sec^{2} (x)