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verificar sec(x)csc(x)=tan(x)+cot(x)

Solución

verificar

sec (x) csc (x) = tan (x) + cot (x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

sec (x) csc (x) = tan (x) + cot (x)

Manipular el lado izquierdo

tan (x) + cot (x)

Expresar con seno, coseno

cot (x) + tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + tan (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ( x ) \frac{1}{c s c ( x )}}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )}}

Multiplicar

\frac{1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )} : \frac{1}{sec ( x ) csc ( x )}

\frac{1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar fracciones:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ( x ) csc ( x )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ( x ) csc ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ( x ) c s c ( x )}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x ) csc ( x )}{1}

Aplicar la regla

\frac{a}{1} = a

= sec (x) csc (x)

sec (x) csc (x)

sec (x) csc (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar sin(x)*sec(x)=tan(x)verificar

sin (x) \cdot sec (x) = tan (x)

verificar cot(B)sin(B)=cos(B)verificar

cot (B) sin (B) = cos (B)

verificar (cos(x))/(sec(x)-tan(x))=1+sin(x)verificar

\frac{cos ( x )}{sec ( x ) - tan ( x )} = 1 + sin (x)

verificar (csc^2(x))/(sec^2(x))=csc^2(x)-1 verificar

\frac{csc ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) - 1

verificar 2csc(2x)=csc^2(x)tan(x)verificar

2 csc (2 x) = csc^{2} (x) tan (x)