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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sec(2θ)=(sec^2(θ))/(1-tan^2(θ))

Lösung

beweisen

sec (2 θ) = \frac{sec ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 θ) = \frac{sec ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sec ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ^{2} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) ( 1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} )}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere

cos^{2} (θ) \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} : cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

cos^{2} (θ) \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 θ )}

= \frac{1}{cos ( 2 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (2 θ)

sec (2 θ)

sec (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)

p ro v e cos (2 a) = cos^{2} (a) - sin^{2} (a)

beweisen tan(θ)+cot(θ)=sec(θ)*csc(θ)

p ro v e tan (θ) + cot (θ) = sec (θ) \cdot csc (θ)

beweisen (cos(x))/(csc(x)+1)+(cos(x))/(csc(x)-1)=2tan(x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1} = 2 tan (x)

beweisen (cos(x)csc(x))/(cot^2(x))=tan(x)

p ro v e \frac{cos ( x ) csc ( x )}{cot ^{2} ( x )} = tan (x)

beweisen cot(pi/2-u)=tan(u)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - u) = tan (u)