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verificar sin(θ)cos(φ)=(sin(θ+φ)+sin(θ-φ))/2

Solución

verificar

sin (θ) cos (φ) = \frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Verdadero

Pasos de solución

sin (θ) cos (φ) = \frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Manipular el lado izquierdo

\frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Utilizar la identidad suma-producto:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{θ + φ + θ - φ}{2} ) cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} )}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( \frac{θ + φ + θ - φ}{2} ) cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} )}{2} : sin (θ) cos (φ)

\frac{2 sin ( \frac{θ + φ + θ - φ}{2} ) cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} )}{2}

θ + φ + θ - φ = 2 θ

θ + φ + θ - φ

Agrupar términos semejantes

= θ + θ + φ - φ

Sumar elementos similares:

θ + θ = 2 θ

= 2 θ + φ - φ

Sumar elementos similares:

φ - φ = 0

= 2 θ

= \frac{2 cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} ) sin ( \frac{2 θ}{2} )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= cos (\frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2}) sin (\frac{2 θ}{2})

\frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} = φ

\frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2}

Expandir

θ + φ - (θ - φ) : 2 φ

θ + φ - (θ - φ)

- (θ - φ) : - θ + φ

- (θ - φ)

Poner los parentesis

= - (θ) - (- φ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - θ + φ

= θ + φ - θ + φ

Simplificar

θ + φ - θ + φ : 2 φ

θ + φ - θ + φ

Agrupar términos semejantes

= θ - θ + φ + φ

Sumar elementos similares:

θ - θ = 0

= φ + φ

Sumar elementos similares:

φ + φ = 2 φ

= 2 φ

= 2 φ

= \frac{2 φ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= φ

= sin (\frac{2 θ}{2}) cos (φ)

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= sin (θ) cos (φ)

= sin (θ) cos (φ)

= sin (θ) cos (φ)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

(cos (x) - sin (x))^{2} = 1 - 2 cos (x) sin (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cos^{2} (x)

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin (α) cos (β)

tan (x) = \frac{sin ( 2 x )}{1 + cos ( 2 x )}

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)