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beweisen (1-tan^2(x))/(sec^2(x))=cos(2x)

Lösung

beweisen

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

\frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 - \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} ) cos ^{2} ( x )}{1}

Füge

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ( \frac{π}{2} + x )}{sin ( π - x )} = cot (x)

p ro v e sin (4 x) = 4 sin (x) cos (x) cos (2 x)

p ro v e \frac{cot ( - θ )}{csc ( θ )} = - cos (θ)

p ro v e sec (α) - cos (α) = sin (α) tan (α)

p ro v e tan^{2} (θ) + 6 = sec^{2} (θ) + 5