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provar (csc^2(θ))/(1+tan^2(θ))=cot^2(θ)

Solução

provar

\frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )} = cot^{2} (θ)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )} = cot^{2} (θ)

Manipular o lado direito

\frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{csc ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

= \frac{csc ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{csc ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{csc ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) \cdot 1}

Simplificar

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( θ ) cot ( θ )}{sin ( θ )}

= cot (θ) \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (θ) cot (θ)

Simplificar

cot (θ) cot (θ) : cot^{2} (θ)

cot (θ) cot (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (θ) cot (θ) = cot^{1 + 1} (θ)

= cot^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (θ)

cot^{2} (θ)

cot^{2} (θ)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e \frac{tan ( y )}{csc ( y )} = sec (y) - cos (y)

p ro v e cos (3 x) = cos (2 x + x)

p ro v e sin (8 x) = 2 sin (4 x) cos (4 x)

p ro v e sin (t) csc (\frac{π}{2} - t) = tan (t)

p ro v e \frac{tan ( x )}{csc ( x )} = sec (x) - cos (x)