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beweisen tan(x)=csc(2x)-cot(2x)

Lösung

beweisen

tan (x) = csc (2 x) - cot (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (x) = csc (2 x) - cot (2 x)

Manipuliere die rechte Seite

csc (2 x) - cot (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

- cot (2 x) + csc (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + csc (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Vereinfache

- \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{- cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

- \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{- cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1 - cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (- x) + cos^{2} (- x) = 1

p ro v e \frac{sec ( x ) - cos ( x )}{tan ( x )} = sin (x)

p ro v e sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

p ro v e cos (x + π) = - cos (x)

p ro v e sin (x) sec (x) cot (x) = 1