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人気のある三角関数 >

証明する tan^2(θ)=csc^2(θ)tan^2(θ)-1

解

証明する

tan^{2} (θ) = csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

解

真

解答ステップ

tan^{2} (θ) = csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

右側を操作する

csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

サイン, コサインで表わす

- 1 + csc^{2} (θ) tan^{2} (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} tan^{2} (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

簡素化

- 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} \cdot \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

分数を乗じる:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

共通因数を約分する:

sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( θ ) tan ( θ )}{cos ( θ )}

= tan (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) tan (θ)

簡素化

tan (θ) tan (θ) : tan^{2} (θ)

tan (θ) tan (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= tan^{1 + 1} (θ)

数を足す:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos(x+pi/6)+sin(x-pi/3)=0

p ro v e cos (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{3}) = 0

証明する tanh^2(x)+sech^2(x)=1

p ro v e tanh^{2} (x) + sech^{2} (x) = 1

証明する csc^2(u)-cos(u)sec(u)=cot^2(u)

p ro v e csc^{2} (u) - cos (u) sec (u) = cot^{2} (u)

証明する (cos^2(x))/(sin(x))+sin(x)=csc(x)

p ro v e \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} + sin (x) = csc (x)

証明する-csc^2(x)cos^2(x)=1-csc^2(x)

p ro v e - csc^{2} (x) cos^{2} (x) = 1 - csc^{2} (x)