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beweisen csc^2(x/2)= 2/(1-cos(x))

Lösung

beweisen

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

Angenommen:

u = \frac{x}{2}

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Beweise

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )} :

Wahr

csc^{2} (u) = \frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{1 - cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Vereinfache

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )} : \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

\frac{2}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2}{2 sin ^{2} ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

(\frac{1}{csc ( u )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( u )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( u )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( u )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( u )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

csc^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{2}{1 - cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1 = tan^{2} (θ)

p ro v e csc (θ) cos^{2} (θ) + sin (θ) = csc (θ)

p ro v e sec (θ + \frac{π}{2}) = csc (θ)

p ro v e \frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ) = cos (θ)

p ro v e sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}