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人気のある三角関数 >

証明する sin^2(θ/2)=(sec(θ)-1)/(2sec(θ))

解

証明する

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) - 1}{2 sec ( θ )}

解

真

解答ステップ

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) - 1}{2 sec ( θ )}

仮定:

u = \frac{θ}{2}

sin^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )}

以下を証明する

sin^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )} :

真

sin^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )}

右側を操作する

\frac{sec ( 2 u ) - 1}{2 sec ( 2 u )}

サイン, コサインで表わす

\frac{- 1 + sec ( 2 u )}{2 sec ( 2 u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

簡素化

\frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

\frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{2 \cdot \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

乗じる

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{2}{cos ( 2 u )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 u )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 u )}

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 u )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

結合

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= - \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

乗算:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{2}{c o s ( 2 u )}}

分数を割る:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) \cdot 2}

共通因数を約分する:

cos (2 u)

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ( 2 u )}{2}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

簡素化

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2} : sin^{2} (u)

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2}

拡張

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{sec ( θ ) - 1}{2 sec ( θ )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cot(t)csc(t)=(csc^2(t)-1)/(cos(t))

p ro v e cot (t) csc (t) = \frac{csc ^{2} ( t ) - 1}{cos ( t )}

証明する 1/(1+sin(t))=(sec(t)-tan(t))sec(t)

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( t )} = (sec (t) - tan (t)) sec (t)

証明する sin(pi/3)=(sqrt(3))/2

p ro v e sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

証明する cos(t)sec(pi/2-t)=cot(t)

p ro v e cos (t) sec (\frac{π}{2} - t) = cot (t)

証明する ((1-cos(2x)))/(sin(2x))=tan(x)

p ro v e \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{sin ( 2 x )} = tan (x)