English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

beweisen (1+tan^2(x))/(csc(x)sec(x))=tan(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{csc ( x ) sec ( x )} = tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{csc ( x ) sec ( x )} = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{csc ( x ) sec ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{csc ( x ) sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{csc ( x ) sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ( x )} sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ( x )} \cdot \frac{1}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ( x )} \cdot \frac{1}{c o s ( x )}} : \frac{sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ( x )}

\frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ( x )} \cdot \frac{1}{c o s ( x )}}

Multipliziere

\frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )} : \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sin ( x ) cos ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{1 + ( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ( x ) c o s ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x ) c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} ) sin ( x ) cos ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )} sin ( x ) cos ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} sin (x) cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (- a) cos (- a) + sin (- a) = - csc (a)

p ro v e 2 cos (x) tan (x) csc (x) = 2

p ro v e sec^{2} (y) - cot^{2} (\frac{π}{2} - y) = 1

p ro v e sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x) = sin (x)

p ro v e tan (x) (csc (x) - sin (x)) = cos (x)