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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sin(pi/3+x)-sin(pi/3-x)=sin(x)

Lösung

beweisen

sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x) = sin (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x) = sin (x)

Manipuliere die linke Seite

sin (\frac{π}{3} + x) - sin (\frac{π}{3} - x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{π}{3} - x)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{3}) cos (x) - cos (\frac{π}{3}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{3}) cos (x) - cos (\frac{π}{3}) sin (x) : \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

sin (\frac{π}{3}) cos (x) - cos (\frac{π}{3}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{3}) : \frac{3}{2}

sin (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - cos (\frac{π}{3}) sin (x)

Vereinfache

cos (\frac{π}{3}) : \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= sin (\frac{π}{3} + x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{π}{3} + x)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (\frac{π}{3}) cos (x) + cos (\frac{π}{3}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{3}) cos (x) + cos (\frac{π}{3}) sin (x) : \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

sin (\frac{π}{3}) cos (x) + cos (\frac{π}{3}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{3}) : \frac{3}{2}

sin (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) + cos (\frac{π}{3}) sin (x)

Vereinfache

cos (\frac{π}{3}) : \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{3})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

Vereinfache

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) : sin (x)

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

- (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) : - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

- (\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x))

Setze Klammern

= - (\frac{3}{2} cos (x)) - (- \frac{1}{2} sin (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Vereinfache

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) : sin (x)

\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x) - \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x) + \frac{3}{2} cos (x) - \frac{3}{2} cos (x)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{3}{2} cos (x) - \frac{3}{2} cos (x) = 0

\frac{3}{2} cos (x) - \frac{3}{2} cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (x)

= cos (x) (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})

\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{3}{2} - \frac{3}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{2}

Faktorisiere

3 - 3 : 0

3 - 3

Klammere gleiche Terme aus

3

= 3 (1 - 1)

Fasse zusammen

= 0

= \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= \frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x) = sin (x)

\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + 1}{2}

Fasse zusammen

= 1

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan(x)(csc(x)-sin(x))=cos(x)

p ro v e tan (x) (csc (x) - sin (x)) = cos (x)

beweisen tan(x)(sin(x)+cot(x)cos(x))=sec(x)

p ro v e tan (x) (sin (x) + cot (x) cos (x)) = sec (x)

beweisen (csc(x)+sec(x))/(tan(x)+1)=csc(x)

p ro v e \frac{csc ( x ) + sec ( x )}{tan ( x ) + 1} = csc (x)

beweisen cos(pi/3)= 1/2

p ro v e cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

beweisen sec(-x)=sec(x)

p ro v e sec (- x) = sec (x)