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beweisen sin(θ+pi)=-sin(θ)

Lösung

beweisen

sin (θ + π) = - sin (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (θ + π) = - sin (θ)

Manipuliere die linke Seite

sin (θ + π)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (θ + π)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (θ) cos (π) + cos (θ) sin (π)

Vereinfache

sin (θ) cos (π) + cos (θ) sin (π) : - sin (θ)

sin (θ) cos (π) + cos (θ) sin (π)

sin (θ) cos (π) = - sin (θ)

sin (θ) cos (π)

Vereinfache

cos (π) : - 1

cos (π)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (π) = (- 1)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - 1

= (- 1) sin (θ)

Fasse zusammen

= - sin (θ)

= - sin (θ) + sin (π) cos (θ)

cos (θ) sin (π) = 0

cos (θ) sin (π)

Vereinfache

sin (π) : 0

sin (π)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (π) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

= 0 \cdot cos (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= - sin (θ) + 0

- sin (θ) + 0 = - sin (θ)

= - sin (θ)

= - sin (θ)

= - sin (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x + \frac{3 π}{2}) = - cos (x)

p ro v e sec (x) - sec (x) \cdot sin^{2} (x) = cos (x)

p ro v e \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ( 2 x )} = tan (2 x)

p ro v e tan (- θ) = - tan (θ)

p ro v e tan (θ + π) = tan (θ)