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verificar tan(8x)-tan(8x)tan^2(4x)=2tan(4x)

Solución

verificar

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan (4 x)

Verdadero

Pasos de solución

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan (4 x)

Manipular el lado derecho

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

tan (8 x) - tan (8 x) tan^{2} (4 x)

= tan (2 \cdot 4 x) - tan (2 \cdot 4 x) tan^{2} (4 x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} - \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x)

Simplificar

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} - \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x) : 2 tan (4 x)

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} - \frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x)

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x) = \frac{2 tan ^{3} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

\frac{2 tan ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )} tan^{2} (4 x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( 4 x ) tan ^{2} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

2 tan (4 x) tan^{2} (4 x) = 2 tan^{3} (4 x)

2 tan (4 x) tan^{2} (4 x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (4 x) tan^{2} (4 x) = tan^{1 + 2} (4 x)

= 2 tan^{1 + 2} (4 x)

Sumar:

1 + 2 = 3

= 2 tan^{3} (4 x)

= \frac{2 tan ^{3} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

= \frac{2 tan ( 4 x )}{- tan ^{2} ( 4 x ) + 1} - \frac{2 tan ^{3} ( 4 x )}{- tan ^{2} ( 4 x ) + 1}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( 4 x ) - 2 tan ^{3} ( 4 x )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

Factorizar

2 tan (4 x) - 2 tan^{3} (4 x) : 2 tan (4 x) (1 - tan^{2} (4 x))

2 tan (4 x) - 2 tan^{3} (4 x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

tan^{3} (4 x) = tan (4 x) tan^{2} (4 x)

= 2 tan (4 x) - 2 tan (4 x) tan^{2} (4 x)

Reescribir como

= 1 \cdot 2 tan (4 x) - 2 tan (4 x) tan^{2} (4 x)

Factorizar el termino común

2 tan (4 x)

= 2 tan (4 x) (1 - tan^{2} (4 x))

= \frac{2 tan ( 4 x ) ( 1 - tan ^{2} ( 4 x ) )}{1 - tan ^{2} ( 4 x )}

Eliminar los terminos comunes:

1 - tan^{2} (4 x)

= 2 tan (4 x)

= 2 tan (4 x)

= 2 tan (4 x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) + 1} = 1 - cos (x)

cot (2 u) = \frac{cot ^{2} ( u ) - 1}{2 cot ( u )}

\frac{sin ( θ ) csc ( θ )}{cot ( θ )} = tan (θ)

\frac{sin ( 2 x )}{2} = sin (x) cos (x)

sin (θ) = sin^{3} (θ) + cos^{2} (θ) sin (θ)