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受欢迎的三角函数 >

证明 cot(θ)=sec(θ)csc(θ)-tan(θ)

解答

证明

cot (θ) = sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

解答

真

求解步骤

cot (θ) = sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

调整右侧

sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

用 sin, cos 表示

- tan (θ) + csc (θ) sec (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + csc (θ) sec (θ)

使用基本三角恒等式:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} sec (θ)

使用基本三角恒等式:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

化简

- \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

- \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

数字相乘:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ), sin (θ) cos (θ)

的最小公倍数:

cos (θ) sin (θ)

cos (θ), sin (θ) cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

cos (θ)

或

sin (θ) cos (θ)

中的因子组成的表达式

= cos (θ) sin (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

cos (θ) sin (θ)

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

约分:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

使用基本三角恒等式:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin^2(β)csc^2(β)-sin^2(β)=cos^2(β)

p ro v e sin^{2} (β) csc^{2} (β) - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

证明 cot^2(a)-cos^2(a)=cot^2(a)cos^2(a)

p ro v e cot^{2} (a) - cos^{2} (a) = cot^{2} (a) cos^{2} (a)

证明 cos^2(θ)(sec^2(θ)-1)=sin^2(θ)

p ro v e cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

证明 cot^2(y)sec^2(y)=1+cot^2(y)

p ro v e cot^{2} (y) sec^{2} (y) = 1 + cot^{2} (y)

证明 csc(θ)-cot(θ)*cos(θ)=sin(θ)

p ro v e csc (θ) - cot (θ) \cdot cos (θ) = sin (θ)