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dimostrare cot(θ)=sec(θ)csc(θ)-tan(θ)

Soluzione

dimostrare

cot (θ) = sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

Vero

Fasi della soluzione

cot (θ) = sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

Manipolando il lato destro

sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

Esprimere con sen e cos

- tan (θ) + csc (θ) sec (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + csc (θ) sec (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} sec (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Semplifica

- \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

- \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (θ), sin (θ) cos (θ) : cos (θ) sin (θ)

cos (θ), sin (θ) cos (θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos (θ)

sin (θ) cos (θ)

= cos (θ) sin (θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos (θ) sin (θ)

Per

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Cancella il fattore comune:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin^{2} (β) csc^{2} (β) - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

p ro v e cot^{2} (a) - cos^{2} (a) = cot^{2} (a) cos^{2} (a)

p ro v e cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

p ro v e cot^{2} (y) sec^{2} (y) = 1 + cot^{2} (y)

p ro v e csc (θ) - cot (θ) \cdot cos (θ) = sin (θ)