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受欢迎的三角函数 >

证明 1/(1+cos(θ))+1/(1-cos(θ))=2csc^2(θ)

解答

证明

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

解答

真

求解步骤

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

调整左侧

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

化简

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} : \frac{2}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

1 + cos (θ), 1 - cos (θ)

的最小公倍数:

(cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

1 + cos (θ), 1 - cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

1 + cos (θ)

或

1 - cos (θ)

中的因子组成的表达式

= (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

(cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

对于

\frac{1}{1 + cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

- cos (θ) + 1

\frac{1}{1 + cos ( θ )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( θ ) + 1 )}{( 1 + cos ( θ ) ) ( - cos ( θ ) + 1 )} = \frac{- cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

对于

\frac{1}{1 - cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

cos (θ) + 1

\frac{1}{1 - cos ( θ )} = \frac{1 \cdot ( cos ( θ ) + 1 )}{( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) + 1 )} = \frac{cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{- cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )} + \frac{cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( θ ) + 1 + cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

- cos (θ) + 1 + cos (θ) + 1 = 2

- cos (θ) + 1 + cos (θ) + 1

对同类项分组

= - cos (θ) + cos (θ) + 1 + 1

同类项相加:

- cos (θ) + cos (θ) = 0

= 1 + 1

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}

使用三角恒等式改写

\frac{2}{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}

乘开

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ)) : 1 - cos^{2} (θ)

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - cos^{2} (θ)

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (θ)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( θ )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{2}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( θ )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

化简

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

使用指数法则:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ^{2} ( θ )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= 2 csc^{2} (θ)

2 csc^{2} (θ)

2 csc^{2} (θ)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin(a+b)-sin(a-b)=2cos(a)sin(b)

p ro v e sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos (a) sin (b)

证明 sin(2pi-x)=-sin(x)

p ro v e sin (2 π - x) = - sin (x)

证明 sin^2(a)+sin^2(a)tan^2(a)=tan^2(a)

p ro v e sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a) = tan^{2} (a)

证明 sin(b)+cos(b)cot(b)=csc(b)

p ro v e sin (b) + cos (b) cot (b) = csc (b)

证明 (sec(x)-cos(x))/(sin^2(x))=sec(x)

p ro v e \frac{sec ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} = sec (x)