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Beliebt Trigonometrie >

beweisen 1/(1+cos(θ))+1/(1-cos(θ))=2csc^2(θ)

Lösung

beweisen

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} : \frac{2}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 + cos (θ), 1 - cos (θ) : (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

1 + cos (θ), 1 - cos (θ)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 + cos (θ)

oder

1 - cos (θ)

auftauchen.

= (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

Für

\frac{1}{1 + cos ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- cos (θ) + 1

\frac{1}{1 + cos ( θ )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( θ ) + 1 )}{( 1 + cos ( θ ) ) ( - cos ( θ ) + 1 )} = \frac{- cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

Für

\frac{1}{1 - cos ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (θ) + 1

\frac{1}{1 - cos ( θ )} = \frac{1 \cdot ( cos ( θ ) + 1 )}{( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) + 1 )} = \frac{cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{- cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )} + \frac{cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( θ ) + 1 + cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

- cos (θ) + 1 + cos (θ) + 1 = 2

- cos (θ) + 1 + cos (θ) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (θ) + cos (θ) + 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos (θ) + cos (θ) = 0

= 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}

Multipliziere aus

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ)) : 1 - cos^{2} (θ)

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - cos^{2} (θ)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (θ)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{2}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 csc ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= 2 csc^{2} (θ)

2 csc^{2} (θ)

2 csc^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(a+b)-sin(a-b)=2cos(a)sin(b)

p ro v e sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos (a) sin (b)

beweisen sin(2pi-x)=-sin(x)

p ro v e sin (2 π - x) = - sin (x)

beweisen sin^2(a)+sin^2(a)tan^2(a)=tan^2(a)

p ro v e sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a) = tan^{2} (a)

beweisen sin(b)+cos(b)cot(b)=csc(b)

p ro v e sin (b) + cos (b) cot (b) = csc (b)

beweisen (sec(x)-cos(x))/(sin^2(x))=sec(x)

p ro v e \frac{sec ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} = sec (x)