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beweisen (1-cos^2(x))/(tan(x))=sin(x)cos(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sin (x) cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sin (x) cos (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{tan ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{tan ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{sin ( x )}

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{sin ( x )}

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= sin (x) cos (x)

= sin (x) cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (A) tan^{2} (A) = sin^{2} (A)

p ro v e csc (y) cos^{2} (y) + sin (y) = csc (y)

p ro v e cos (\frac{3 π}{2} + x) = sin (x)

p ro v e csc (2 A) + cot (2 A) = cot (A)

p ro v e sin (x) - cos (x) = 1 - sin (2 x)