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受欢迎的三角函数 >

证明 sin((7pi)/6+x)-cos((2pi)/3+x)=0

解答

证明

sin (\frac{7 π}{6} + x) - cos (\frac{2 π}{3} + x) = 0

解答

真

求解步骤

sin (\frac{7 π}{6} + x) - cos (\frac{2 π}{3} + x) = 0

调整左侧

sin (\frac{7 π}{6} + x) - cos (\frac{2 π}{3} + x)

使用三角恒等式改写

sin (\frac{7 π}{6} + x)

使用角和恒等式:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (\frac{7 π}{6}) cos (x) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (x)

化简

sin (\frac{7 π}{6}) cos (x) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (x) : - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

sin (\frac{7 π}{6}) cos (x) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (x)

sin (\frac{7 π}{6}) = - \frac{1}{2}

sin (\frac{7 π}{6})

使用三角恒等式改写:

sin (π) cos (\frac{π}{6}) + cos (π) sin (\frac{π}{6})

sin (\frac{7 π}{6})

将

sin (\frac{7 π}{6})

写为

sin (π + \frac{π}{6})

= sin (π + \frac{π}{6})

使用角和恒等式:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (π) cos (\frac{π}{6}) + cos (π) sin (\frac{π}{6})

= sin (π) cos (\frac{π}{6}) + cos (π) sin (\frac{π}{6})

使用以下普通恒等式:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

使用以下普通恒等式:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= 0 \cdot \frac{3}{2} + (- 1) \frac{1}{2}

化简

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} cos (x) + cos (\frac{7 π}{6}) sin (x)

cos (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{2}

cos (\frac{7 π}{6})

使用三角恒等式改写:

cos (π) cos (\frac{π}{6}) - sin (π) sin (\frac{π}{6})

cos (\frac{7 π}{6})

将

cos (\frac{7 π}{6})

写为

cos (π + \frac{π}{6})

= cos (π + \frac{π}{6})

使用角和恒等式:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{π}{6}) - sin (π) sin (\frac{π}{6})

= cos (π) cos (\frac{π}{6}) - sin (π) sin (\frac{π}{6})

使用以下普通恒等式:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

使用以下普通恒等式:

sin (π) = 0

sin (π)

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= (- 1) \frac{3}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}

化简

= - \frac{3}{2}

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) - cos (\frac{2 π}{3} + x)

使用三角恒等式改写

cos (\frac{2 π}{3} + x)

使用角和恒等式:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (\frac{2 π}{3}) cos (x) - sin (\frac{2 π}{3}) sin (x)

化简

cos (\frac{2 π}{3}) cos (x) - sin (\frac{2 π}{3}) sin (x) : - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

cos (\frac{2 π}{3}) cos (x) - sin (\frac{2 π}{3}) sin (x)

化简

cos (\frac{2 π}{3}) : - \frac{1}{2}

cos (\frac{2 π}{3})

使用以下普通恒等式:

cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

cos (x)

周期表（周期为

2 πn

）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= - \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2} cos (x) - sin (\frac{2 π}{3}) sin (x)

化简

sin (\frac{2 π}{3}) : \frac{3}{2}

sin (\frac{2 π}{3})

使用以下普通恒等式:

sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}

sin (x)

周期表（周期为

2 πn

"）：

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) - (- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x))

- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) - (- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)) = 0

- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) - (- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x))

- (- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x)) : \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

- (- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x))

打开括号

= - (- \frac{1}{2} cos (x)) - (- \frac{3}{2} sin (x))

使用加减运算法则

- (- a) = a

= \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

= - \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

化简

- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x) : 0

- \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x) + \frac{3}{2} sin (x)

对同类项分组

= - \frac{1}{2} cos (x) + \frac{1}{2} cos (x) - \frac{3}{2} sin (x) + \frac{3}{2} sin (x)

同类项相加:

- \frac{1}{2} cos (x) + \frac{1}{2} cos (x) = 0

- \frac{1}{2} cos (x) + \frac{1}{2} cos (x)

因式分解出通项

cos (x)

= cos (x) (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + 1}{2}

整理后得

= 0

= 0

= - \frac{3}{2} sin (x) + \frac{3}{2} sin (x)

同类项相加:

- \frac{3}{2} sin (x) + \frac{3}{2} sin (x) = 0

- \frac{3}{2} sin (x) + \frac{3}{2} sin (x)

因式分解出通项

sin (x)

= sin (x) (- \frac{3}{2} + \frac{3}{2})

- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0

- \frac{3}{2} + \frac{3}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 3 + 3}{2}

分解

- 3 + 3 : 0

- 3 + 3

因式分解出通项

3

= 3 (- 1 + 1)

整理后得

= 0

= \frac{0}{2}

使用法则

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

= 0

= 0

= 0

= 0

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 tan(u)(csc(u)-sin(u))=cos(u)

p ro v e tan (u) (csc (u) - sin (u)) = cos (u)

证明 1-2sin^2(x)+sin^4(x)=cos^4(x)

p ro v e 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x) = cos^{4} (x)

证明 (sin(3θ))/(sin(θ))=3-4sin^2(θ)

p ro v e \frac{sin ( 3 θ )}{sin ( θ )} = 3 - 4 sin^{2} (θ)

证明 tan(pi-θ)=tan(θ)

p ro v e tan (π - θ) = tan (θ)

证明 6cos^2(x)-3=3-6sin^2(x)

p ro v e 6 cos^{2} (x) - 3 = 3 - 6 sin^{2} (x)