dimostrare 1-sin(x)=(sin(x/2)-cos(x/2))^2

Soluzione

dimostrare

1 - sin (x) = (sin (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}))^{2}

Vero

Fasi della soluzione

1 - sin (x) = (sin (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}))^{2}

Sia:

u = \frac{x}{2}

1 - sin (2 u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

Dimostra

1 - sin (2 u) = (sin (u) - cos (u))^{2} :

Vero

1 - sin (2 u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

Manipolando il lato sinistro

1 - sin (2 u)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

= (cos^{2} (u) + sin^{2} (u)) - sin (2 u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 u) = 2 sin (u) cos (u)

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u) - 2 sin (u) cos (u)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

sin^{2} (u) - 2 sin (u) cos (u) + cos^{2} (u) = (sin (u) - cos (u))^{2}

= (sin (u) - cos (u))^{2}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Quindi

1 - sin (x) = (sin (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}))^{2}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (θ) = cos (\frac{π}{2} - θ)

p ro v e cot (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{( sin ( x ) )}{( 1 - cos ( x ) )} - \frac{( 1 )}{( sin ( x ) )} = cot (x)

p ro v e sin (0) sec (0) = tan (0)

p ro v e cos (2 a) = \frac{cot ( a ) - tan ( a )}{csc ( a ) sec ( a )}