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beweisen ((sin(x)))/((1-cos(x)))-((1))/((sin(x)))=cot(x)

Lösung

beweisen

\frac{( sin ( x ) )}{( 1 - cos ( x ) )} - \frac{( 1 )}{( sin ( x ) )} = cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{sin ( x )} = cot (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere mit

\frac{1 + cos ( x )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{( 1 - c o s ( x ) ) ( 1 + c o s ( x ) )}{1 + c o s ( x )}} - \frac{1}{sin ( x )}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{\frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} - \frac{1}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} - \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} - \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} - \frac{1}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} = \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )} - \frac{1}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x ) - 1}{sin ( x )}

1 + cos (x) - 1 = cos (x)

1 + cos (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (0) sec (0) = tan (0)

p ro v e cos (2 a) = \frac{cot ( a ) - tan ( a )}{csc ( a ) sec ( a )}

p ro v e cos (a) cos (b) = \frac{1}{2} (cos (a - b) + cos (a + b))

p ro v e sin (a - b) = sin (a) cos (b) - cos (a) sin (b)

p ro v e \frac{2}{cos ( x )} = 2 sec (x)