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beweisen csc(x)*cos^2(x)+sin(x)=csc(x)

Lösung

beweisen

csc (x) \cdot cos^{2} (x) + sin (x) = csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (x) cos^{2} (x) + sin (x) = csc (x)

Manipuliere die linke Seite

csc (x) cos^{2} (x) + sin (x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (x) + cos^{2} (x) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= sin (x) + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

sin (x) + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

sin (x) + cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

cos^{2} (x) \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= sin (x) + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

sin (x) sin (x) + cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

sin (x) sin (x) + cos^{2} (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (2 u) = 2 cos^{2} (u) - 1

p ro v e tan (2 x) (1 - tan^{2} (x)) = 2 tan (x)

p ro v e csc (x) - cos (x) \cdot cot (x) = sin (x)

p ro v e sin (x) \cdot csc (x) = 1

p ro v e csc^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = sin (648 0^{\circ})