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dimostrare (1+sec(θ))/(sec(θ))=2cos^2(θ/2)

Soluzione

dimostrare

\frac{1 + sec ( θ )}{sec ( θ )} = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2})

Vero

Fasi della soluzione

\frac{1 + sec ( θ )}{sec ( θ )} = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2})

Sia:

u = \frac{θ}{2}

\frac{1 + sec ( 2 u )}{sec ( 2 u )} = 2 cos^{2} (u)

Dimostra

\frac{1 + sec ( 2 u )}{sec ( 2 u )} = 2 cos^{2} (u) :

Vero

\frac{1 + sec ( 2 u )}{sec ( 2 u )} = 2 cos^{2} (u)

Manipolando il lato sinistro

\frac{1 + sec ( 2 u )}{sec ( 2 u )}

Esprimere con sen e cos

\frac{1 + sec ( 2 u )}{sec ( 2 u )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Semplifica

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{1}{c o s ( 2 u )}} : cos (2 u) + 1

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )} ) cos ( 2 u )}{1}

Unisci

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )} cos ( 2 u )}{1}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )} cos (2 u)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

Cancella il fattore comune:

cos (2 u)

= cos (2 u) + 1

= 1 + cos (2 u)

= 1 + cos (2 u)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 + cos (2 u)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Semplifica

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 : 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Quindi

\frac{1 + sec ( θ )}{sec ( θ )} = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2})

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = cot (x) - tan (x)

p ro v e csc (2 x) = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 tan ( x )}

p ro v e \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = cot (x) + csc (x)

p ro v e tan (3 0^{\circ}) = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

p ro v e tan (2 x) - sin (2 x) = tan (2 x) sin (2 x)