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受欢迎的三角函数 >

证明 (tan(y)+cot(y))/(csc(y))=sec(y)

解答

证明

\frac{tan ( y ) + cot ( y )}{csc ( y )} = sec (y)

解答

真

求解步骤

\frac{tan ( y ) + cot ( y )}{csc ( y )} = sec (y)

调整左侧

\frac{tan ( y ) + cot ( y )}{csc ( y )}

用 sin, cos 表示

\frac{cot ( y ) + tan ( y )}{csc ( y )}

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( y )}{s i n ( y )} + tan ( y )}{csc ( y )}

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( y )}{s i n ( y )} + \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}}{csc ( y )}

使用基本三角恒等式:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( y )}{s i n ( y )} + \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}}{\frac{1}{s i n ( y )}}

化简

\frac{\frac{c o s ( y )}{s i n ( y )} + \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}}{\frac{1}{s i n ( y )}} : \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y )}

\frac{\frac{c o s ( y )}{s i n ( y )} + \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )}}{\frac{1}{s i n ( y )}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{c o s ( y )}{s i n ( y )} + \frac{s i n ( y )}{c o s ( y )} ) sin ( y )}{1}

化简

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} + \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} + \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

sin (y), cos (y)

的最小公倍数:

sin (y) cos (y)

sin (y), cos (y)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (y)

或

cos (y)

中的因子组成的表达式

= sin (y) cos (y)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

sin (y) cos (y)

对于

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} :

将分母和分子乘以

cos (y)

\frac{cos ( y )}{sin ( y )} = \frac{cos ( y ) cos ( y )}{sin ( y ) cos ( y )} = \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

对于

\frac{sin ( y )}{cos ( y )} :

将分母和分子乘以

sin (y)

\frac{sin ( y )}{cos ( y )} = \frac{sin ( y ) sin ( y )}{cos ( y ) sin ( y )} = \frac{sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )} + \frac{sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( y ) + s i n ^{2} ( y )}{s i n ( y ) c o s ( y )} sin ( y )}{1}

使用分式法则:

\frac{a}{1} = a

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{sin ( y ) cos ( y )} sin (y)

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y ) ) sin ( y )}{sin ( y ) cos ( y )}

约分:

sin (y)

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y )}

= \frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( y ) + sin ^{2} ( y )}{cos ( y )}

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( y )}

= \frac{1}{cos ( y )}

使用三角恒等式改写

使用基本三角恒等式:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( y )}}

化简

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( y )}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( y )}{1}

使用法则

\frac{a}{1} = a

= sec (y)

sec (y)

sec (y)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos(3B)=cos(B)(cos^2(B)-3sin^2(B))

p ro v e cos (3 B) = cos (B) (cos^{2} (B) - 3 sin^{2} (B))

证明 tan(2x)= 1/(1-tan(x))-1/(1+tan(x))

p ro v e tan (2 x) = \frac{1}{1 - tan ( x )} - \frac{1}{1 + tan ( x )}

证明 sin(2x)=(2cot(x))/(csc^2(x))

p ro v e sin (2 x) = \frac{2 cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

证明 2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)

p ro v e 2 sin (θ) cos (θ) = sin (2 θ)

证明 (1+tan^2(x))/(tan(x))=sec(x)csc(x)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{tan ( x )} = sec (x) csc (x)