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provar cot^2(α)=cos^2(α)+(cot(α)*cos(α))^2

Solução

provar

cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) \cdot cos (α))^{2}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

cot^{2} (α) = cos^{2} (α) + (cot (α) cos (α))^{2}

Manipular o lado esquerdo

cos^{2} (α) + (cot (α) cos (α))^{2}

Expresar com seno, cosseno

(cos (α) cot (α))^{2} + cos^{2} (α)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2} + cos^{2} (α)

Simplificar

(cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2} + cos^{2} (α) : \frac{cos ^{4} ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

(cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2} + cos^{2} (α)

(cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2} = \frac{cos ^{4} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

(cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )})^{2}

Multiplicar

cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )} : \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ( α )}

cos (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( α ) cos ( α )}{sin ( α )}

cos (α) cos (α) = cos^{2} (α)

cos (α) cos (α)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (α) cos (α) = cos^{1 + 1} (α)

= cos^{1 + 1} (α)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (α)

= \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ( α )}

= (\frac{cos ^{2} ( α )}{sin ( α )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( cos ^{2} ( α ) ) ^{2}}{sin ^{2} ( α )}

(cos^{2} (α))^{2} : cos^{4} (α)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= cos^{2 \cdot 2} (α)

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= cos^{4} (α)

= \frac{cos ^{4} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{4} ( α )}{sin ^{2} ( α )} + cos^{2} (α)

Converter para fração:

cos^{2} (α) = \frac{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{4} ( α )}{sin ^{2} ( α )} + \frac{cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{4} ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{4} ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{4} ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Fatorar

\frac{cos ^{4} ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )} : \frac{cos ^{2} ( α ) ( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) )}{sin ^{2} ( α )}

\frac{cos ^{4} ( α ) + cos ^{2} ( α ) sin ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Fatorar

cos^{4} (α) + cos^{2} (α) sin^{2} (α) : cos^{2} (α) (cos^{2} (α) + sin^{2} (α))

cos^{4} (α) + cos^{2} (α) sin^{2} (α)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{4} (α) = cos^{2} (α) cos^{2} (α)

= cos^{2} (α) cos^{2} (α) + cos^{2} (α) sin^{2} (α)

Fatorar o termo comum

cos^{2} (α)

= cos^{2} (α) (cos^{2} (α) + sin^{2} (α))

= \frac{cos ^{2} ( α ) ( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) ) cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) ) cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Simplificar

= \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α )}{sin ^{2} ( α )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{cos ( α )}{sin ( α )} \cdot \frac{cos ( α )}{sin ( α )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( α ) cot ( α )}{sin ( α )}

= cot (α) \frac{cos ( α )}{sin ( α )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (α) cot (α)

Simplificar

cot (α) cot (α) : cot^{2} (α)

cot (α) cot (α)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (α) cot (α) = cot^{1 + 1} (α)

= cot^{1 + 1} (α)

Somar:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (α)

cot^{2} (α)

cot^{2} (α)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 1/(tan(α))*1/(cos(α))= 1/(sin(α))

p ro v e \frac{1}{tan ( α )} \cdot \frac{1}{cos ( α )} = \frac{1}{sin ( α )}

provar sec(x)=arccos(x)

p ro v e sec (x) = arccos (x)

provar tan(θ)+sin(θ)=4(1+cos(θ))

p ro v e tan (θ) + sin (θ) = 4 (1 + cos (θ))

provar 2/(cot(x)tan(x))=sin(2x)

p ro v e \frac{2}{cot ( x ) tan ( x )} = sin (2 x)

provar (sin(x)-cos(x))^2=1+sin(2x)

p ro v e (sin (x) - cos (x))^{2} = 1 + sin (2 x)