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人気のある三角関数 >

証明する (sin^4(x)-1)/(cos^2(x))=cos^2(x)-2

解

証明する

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

解

真

解答ステップ

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

左側を操作する

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )}

簡素化

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )} : - sin^{2} (x) - 1

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )}

因数

sin^{4} (x) - 1 : (sin^{2} (x) + 1) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{4} (x) - 1

sin^{4} (x) - 1

を書き換え

(sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

sin^{4} (x) - 1

1

を書き換え

1^{2}

= sin^{4} (x) - 1^{2}

指数の規則を適用する:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - 1^{2} = (sin^{2} (x) + 1) (sin^{2} (x) - 1)

= (sin^{2} (x) + 1) (sin^{2} (x) - 1)

因数

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

1

を書き換え

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin^{2} (x) + 1) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{1 - sin ^{2} ( x )}

因数

1 - sin^{2} (x) : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

1 - sin^{2} (x)

共通項をくくり出す

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

因数

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

1

を書き換え

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

2乗の差の公式を適用する:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

キャンセル

- \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )} : - (sin^{2} (x) + 1)

- \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

共通因数を約分する:

sin (x) + 1

= - \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ( x ) - 1}

共通因数を約分する:

sin (x) - 1

= - (sin^{2} (x) + 1)

= - (sin^{2} (x) + 1)

否定

- (sin^{2} (x) + 1) = - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

右側を操作する

cos^{2} (x) - 2

三角関数の公式を使用して書き換える

cos^{2} (x) - 2

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) - 2

簡素化

1 - sin^{2} (x) - 2 : - sin^{2} (x) - 1

1 - sin^{2} (x) - 2

条件のようなグループ

= - sin^{2} (x) + 1 - 2

数を足す/引く:

1 - 2 = - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する csc(x)tan(x)= 1/(cos(x))

p ro v e csc (x) tan (x) = \frac{1}{cos ( x )}

証明する sin(x+y)sin(x-y)=sin(2x)-sin(2y)

p ro v e sin (x + y) sin (x - y) = sin (2 x) - sin (2 y)

証明する sin((5pi)/6)= 1/2

p ro v e sin (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2}

証明する tan(pi/2-θ)=cot(θ)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) = cot (θ)

証明する sec(2a)=(csc^2(a))/(cot^2(a)-1)

p ro v e sec (2 a) = \frac{csc ^{2} ( a )}{cot ^{2} ( a ) - 1}