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provar (sin^4(x)-1)/(cos^2(x))=cos^2(x)-2

Solução

provar

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

Manipular o lado direito

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )}

Simplificar

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )} : - sin^{2} (x) - 1

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )}

Fatorar

sin^{4} (x) - 1 : (sin^{2} (x) + 1) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{4} (x) - 1

Reescrever

sin^{4} (x) - 1

como

(sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

sin^{4} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{4} (x) - 1^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - 1^{2} = (sin^{2} (x) + 1) (sin^{2} (x) - 1)

= (sin^{2} (x) + 1) (sin^{2} (x) - 1)

Fatorar

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin^{2} (x) + 1) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Fatorar

1 - sin^{2} (x) : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

1 - sin^{2} (x)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Fatorar

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

Cancelar

- \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )} : - (sin^{2} (x) + 1)

- \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

Eliminar o fator comum:

sin (x) + 1

= - \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ( x ) - 1}

Eliminar o fator comum:

sin (x) - 1

= - (sin^{2} (x) + 1)

= - (sin^{2} (x) + 1)

Inverter o sinal de

- (sin^{2} (x) + 1) = - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

Manipular o lado esquerdo

cos^{2} (x) - 2

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos^{2} (x) - 2

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) - 2

Simplificar

1 - sin^{2} (x) - 2 : - sin^{2} (x) - 1

1 - sin^{2} (x) - 2

Agrupar termos semelhantes

= - sin^{2} (x) + 1 - 2

Somar/subtrair:

1 - 2 = - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar csc(x)tan(x)= 1/(cos(x))

p ro v e csc (x) tan (x) = \frac{1}{cos ( x )}

provar sin(x+y)sin(x-y)=sin(2x)-sin(2y)

p ro v e sin (x + y) sin (x - y) = sin (2 x) - sin (2 y)

provar sin((5pi)/6)= 1/2

p ro v e sin (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2}

provar tan(pi/2-θ)=cot(θ)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) = cot (θ)

provar sec(2a)=(csc^2(a))/(cot^2(a)-1)

p ro v e sec (2 a) = \frac{csc ^{2} ( a )}{cot ^{2} ( a ) - 1}