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verificar (1+sin(x))/(1-sin(x))-(1-sin(x))/(1+sin(x))=(4tan(x))/(cos(x))

Solución

verificar

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

Solución

Verdadero

Pasos de solución

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

Manipular el lado derecho

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )}

Simplificar

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} : \frac{4 sin ( x )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )}

Mínimo común múltiplo de

1 - sin (x), 1 + sin (x) : (- sin (x) + 1) (sin (x) + 1)

1 - sin (x), 1 + sin (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 - sin (x)

1 + sin (x)

= (- sin (x) + 1) (sin (x) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x) + 1

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} = \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Para

\frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

- sin (x) + 1

\frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{( 1 - sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{( 1 - sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} - \frac{( 1 - sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2} - ( 1 - sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Expandir

(1 + sin (x))^{2} - (1 - sin (x))^{2} : 4 sin (x)

(1 + sin (x))^{2} - (1 - sin (x))^{2}

(1 + sin (x))^{2} : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Simplificar

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - sin (x))^{2}

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- 2 sin (x)) - (sin^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

Simplificar

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x) : 4 sin (x)

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 2 sin (x) - sin^{2} (x) + 1 - 1

Sumar elementos similares:

sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

= 2 sin (x) + 2 sin (x) + 1 - 1

Sumar elementos similares:

2 sin (x) + 2 sin (x) = 4 sin (x)

= 4 sin (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 4 sin (x)

= 4 sin (x)

= \frac{4 sin ( x )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{4 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{4 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Expandir

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{4 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{4 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{4 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \frac{4}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

\frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar sin(3x)=4sin(x)*cos^2(x)-sin(x)verificar

sin (3 x) = 4 sin (x) \cdot cos^{2} (x) - sin (x)

verificar sin(θ)= 4/3 sin^3(θ)+1/3 sin^3(θ)verificar

sin (θ) = \frac{4}{3} sin^{3} (θ) + \frac{1}{3} sin^{3} (θ)

verificar sin(x-(3pi)/2)+sin(pi/2+x)=2cos(x)verificar

sin (x - \frac{3 π}{2}) + sin (\frac{π}{2} + x) = 2 cos (x)

verificar 1/(cos(x)*sin(x))-tan(x)=cot(x)verificar

\frac{1}{cos ( x ) \cdot sin ( x )} - tan (x) = cot (x)

verificar 1/(csc(x)-1)=sin(x)-1 verificar

\frac{1}{csc ( x ) - 1} = sin (x) - 1