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beweisen sec^2(x)cot^2(x)=csc^2(x)

Lösung

beweisen

sec^{2} (x) cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (x) cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

sec^{2} (x) cot^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

cot^{2} (x) sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} sec^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )})^{2} \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 1}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (θ) = sin (\frac{π}{2} + θ)

p ro v e \frac{7 sec ( θ ) - 7}{1 - cos ( θ )} = 7 sec (θ)

p ro v e \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = tan (2 θ)

p ro v e \frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} = tan (x + \frac{π}{4})

p ro v e 4 sin (x) cos (x) = 2 sin (2 x)