English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

chứng minh (1+tan(x))/(1-tan(x))=tan(x+pi/4)

Lời Giải

chứng minh

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} = tan (x + \frac{π}{4})

Lời Giải

Đ \overset{u}{ˊ} ng

Các bước giải pháp

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )} = tan (x + \frac{π}{4})

Thao tác bên trái

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )}

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

\frac{1 + tan ( x )}{1 - tan ( x )}

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Rút gọn

\frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} : \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{1 - \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Hợp

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

Nhân:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Hợp

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

1 + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

Nhân:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )}}

Chia phân số:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) ) cos ( x )}{cos ( x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Triệt tiêu thừa số chung:

cos (x)

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Thao tác bên phải

tan (x + \frac{π}{4})

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

tan (x + \frac{π}{4})

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x + \frac{π}{4} )}{cos ( x + \frac{π}{4} )}

Sử dụng công thức cộng trong hằng đẳng thức:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) + cos ( x ) sin ( \frac{π}{4} )}{cos ( x + \frac{π}{4} )}

Sử dụng công thức cộng trong hằng đẳng thức:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) + cos ( x ) sin ( \frac{π}{4} )}{cos ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) - sin ( x ) sin ( \frac{π}{4} )}

Rút gọn

\frac{sin ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) + cos ( x ) sin ( \frac{π}{4} )}{cos ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) - sin ( x ) sin ( \frac{π}{4} )} : \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{sin ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) + cos ( x ) sin ( \frac{π}{4} )}{cos ( x ) cos ( \frac{π}{4} ) - sin ( x ) sin ( \frac{π}{4} )}

sin (x) cos (\frac{π}{4}) + cos (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} sin (x) + \frac{2}{2} cos (x)

sin (x) cos (\frac{π}{4}) + cos (x) sin (\frac{π}{4})

Rút gọn

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

bảng tuần hoàn với chu kỳ

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x)

Rút gọn

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

bảng tuần hoàn với chu kỳ

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (x) + \frac{2}{2} cos (x)

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) - sin ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}

cos (x) cos (\frac{π}{4}) - sin (x) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{4}) - sin (x) sin (\frac{π}{4})

Rút gọn

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

bảng tuần hoàn với chu kỳ

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Rút gọn

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

bảng tuần hoàn với chu kỳ

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}

Nhân

cos (x) \frac{2}{2} : \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) \frac{2}{2}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}

Nhân

sin (x) \frac{2}{2} : \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) \frac{2}{2}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} sin ( x ) + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Nhân

sin (x) \frac{2}{2} : \frac{2 sin ( x )}{2}

sin (x) \frac{2}{2}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} + \frac{2}{2} cos ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Nhân

cos (x) \frac{2}{2} : \frac{2 cos ( x )}{2}

cos (x) \frac{2}{2}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} + \frac{2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Kết hợp các phân số

\frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Áp dụng quy tắc

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x )}{2} + \frac{2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Kết hợp các phân số

\frac{2 sin ( x )}{2} + \frac{2 cos ( x )}{2} : \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

Áp dụng quy tắc

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 s i n ( x ) + 2 c o s ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Chia phân số:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 sin ( x ) + 2 cos ( x ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) )}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= \frac{2 sin ( x ) + 2 cos ( x )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

2

= \frac{2 ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

2

= \frac{2 ( sin ( x ) + cos ( x ) )}{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Chúng tôi đã cho thấy rằng hai bên có thể có cùng một dạng

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Ví dụ phổ biến

chứng minh 4sin(x)cos(x)=2sin(2x)

p ro v e 4 sin (x) cos (x) = 2 sin (2 x)

chứng minh cos^2(2x)= 1/2 (1+cos(4x))

p ro v e cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2} (1 + cos (4 x))

chứng minh (csc^2(x)-1)/(cot(x))= 1/(tan(x))

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{cot ( x )} = \frac{1}{tan ( x )}

chứng minh sin(4x)=8sin(x)cos(3x)-4sin(x)cos(x)

p ro v e sin (4 x) = 8 sin (x) cos (3 x) - 4 sin (x) cos (x)

chứng minh arccsc(x)=sin(x)

p ro v e arccsc (x) = sin (x)