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verificar cot(x)-2cot(2x)=tan(x)

Solución

verificar

cot (x) - 2 cot (2 x) = tan (x)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

cot (x) - 2 cot (2 x) = tan (x)

Manipular el lado derecho

cot (x) - 2 cot (2 x)

Expresar con seno, coseno

cot (x) - 2 cot (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 cot (2 x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 \cdot \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 \cdot \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} : \frac{cos ( x ) sin ( 2 x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( 2 x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 2 \cdot \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Multiplicar

2 \cdot \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} : \frac{2 cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

2 \cdot \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) \cdot 2}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{2 cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Mínimo común múltiplo de

sin (x), sin (2 x) : sin (x) sin (2 x)

sin (x), sin (2 x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin (x)

sin (2 x)

= sin (x) sin (2 x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (2 x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) sin ( 2 x )}{sin ( x ) sin ( 2 x )}

Para

\frac{cos ( 2 x ) \cdot 2}{sin ( 2 x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (x)

\frac{cos ( 2 x ) \cdot 2}{sin ( 2 x )} = \frac{cos ( 2 x ) \cdot 2 sin ( x )}{sin ( 2 x ) sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) sin ( 2 x )}{sin ( x ) sin ( 2 x )} - \frac{cos ( 2 x ) \cdot 2 sin ( x )}{sin ( 2 x ) sin ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) sin ( 2 x ) - cos ( 2 x ) \cdot 2 sin ( x )}{sin ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( x ) sin ( 2 x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{sin ( x ) sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( x ) sin ( 2 x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{sin ( 2 x ) sin ( x )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ( x ) sin ( 2 x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{sin ( 2 x ) sin ( x )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{cos ( x ) \cdot 2 sin ( x ) cos ( x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) - 2 cos (2 x) sin (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x) - 2 cos (2 x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) - 2 cos (2 x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) sin (x) - 2 cos (2 x) sin (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) sin ( x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) sin ( x ) - 2 cos ( 2 x ) sin ( x )}{2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Factorizar

2 sin (x) cos^{2} (x) - 2 cos (2 x) sin (x) : 2 sin (x) (cos^{2} (x) - cos (2 x))

2 sin (x) cos^{2} (x) - 2 cos (2 x) sin (x)

Reescribir como

= 2 sin (x) cos^{2} (x) - 2 sin (x) cos (2 x)

Factorizar el termino común

2 sin (x)

= 2 sin (x) (cos^{2} (x) - cos (2 x))

= \frac{2 sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x ) )}{2 cos ( x ) sin ^{2} ( x )}

Cancelar

\frac{2 sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x ) )}{2 cos ( x ) sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{2 sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x ) )}{2 cos ( x ) sin ^{2} ( x )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( x ) ( cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x ) )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

cos^{2} (x) = cos (2 x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 x ) + sin ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( 2 x ) + sin ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ( 2 x ) + sin ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Sumar elementos similares:

cos (2 x) - cos (2 x) = 0

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar sin(x)=sqrt(3)sin(x/2)verificar

sin (x) = 3 sin (\frac{x}{2})

verificar sin(θ)cos(θ)sec(θ)csc(θ)=1 verificar

sin (θ) cos (θ) sec (θ) csc (θ) = 1

verificar sin(pi/2-0)=cos(0)verificar

sin (\frac{π}{2} - 0) = cos (0)

verificar sin(3x)=sin(3-4sin^2(x))verificar

sin (3 x) = sin (3 - 4 sin^{2} (x))

verificar (tan^2(θ))/(sec(θ)+1)=sec(θ)-1 verificar

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ ) + 1} = sec (θ) - 1