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beweisen 1+1/(cos(x))=(tan^2(x))/(sec(x)-1)

Lösung

beweisen

1 + \frac{1}{cos ( x )} = \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) - 1}

Wahr

Schritte zur Lösung

1 + \frac{1}{cos ( x )} = \frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) - 1}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) - 1}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) - 1}

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= \frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{sec ( x ) - 1}

Vereinfache

\frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{sec ( x ) - 1} : sec (x) + 1

\frac{sec ^{2} ( x ) - 1}{sec ( x ) - 1}

Faktorisiere

sec^{2} (x) - 1 : (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

sec^{2} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sec^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sec^{2} (x) - 1^{2} = (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

= (sec (x) + 1) (sec (x) - 1)

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) ( sec ( x ) - 1 )}{sec ( x ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec (x) - 1

= sec (x) + 1

= sec (x) + 1

= sec (x) + 1

Drücke mit sin, cos aus

1 + sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 1 + \frac{1}{cos ( x )}

Vereinfache

1 + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

1 + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere aus

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} : \frac{1}{cos ( x )} + 1

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{1}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} + \frac{cos ( x )}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

\frac{cos ( x )}{cos ( x )} = 1

= \frac{1}{cos ( x )} + 1

= 1 + \frac{1}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (x) = sec (- x)

p ro v e cot^{2} (θ) = cos^{2} (θ) + (cot (θ) cos (θ))^{2}

p ro v e csc^{2} (θ) - 1 = cot^{2} (θ)

p ro v e tan (u) + cot (u) = sec (u) csc (u)

p ro v e cos (\frac{π}{12}) = \frac{2 + 3}{2}