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provar 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

Solução

provar

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Verdadeiro

Passos da solução

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Sea:

u = \frac{x}{2}

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Provar

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} :

Verdadeiro

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Simplificar

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Fatorar

1 - cos^{2} (2 u) : - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

1 - cos^{2} (2 u)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (cos^{2} (2 u) - 1)

Fatorar

cos^{2} (2 u) - 1 : (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

cos^{2} (2 u) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= cos^{2} (2 u) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (2 u) - 1^{2} = (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

Cancelar

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

- cos (2 u) + 1 = - (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{- ( cos ( 2 u ) - 1 )}

Simplificar

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{cos ( 2 u ) - 1}

Eliminar o fator comum:

cos (2 u) - 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1 + 1

Simplificar

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Portanto

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)

p ro v e sin (- \frac{π}{4}) = - sin (\frac{π}{4})

p ro v e sin (z + w) = sin (z) cos (w) + cos (z) sin (w)

p ro v e tan^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{1 + cos ( 2 x )}

p ro v e cos (0) tan (0) = sin (0)