he

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

פתרון

prove

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

u = \frac{x}{2} :

נניח ש

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

הוכח ש:

נכון

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

עבוד על אגף ימין

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:הפעל זהות פיטגורית

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

פשט את:

cos (2 u) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

1 - cos^{2} (2 u)

פרק לגורמים את:

- (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

1 - cos^{2} (2 u)

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (cos^{2} (2 u) - 1)

cos^{2} (2 u) - 1

פרק לגורמים את:

(cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

cos^{2} (2 u) - 1

1^{2}

בתור

1

כתוב מחדש את

= cos^{2} (2 u) - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

cos^{2} (2 u) - 1^{2} = (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

צמצם את:

cos (2 u) + 1

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

- cos (2 u) + 1 = - (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{- ( cos ( 2 u ) - 1 )}

פשט

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{cos ( 2 u ) - 1}

cos (2 u) - 1 :

בטל את הגורמים המשותפים

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

:הפעל זהות של זווית כפולה

= 2 cos^{2} (u) - 1 + 1

פשט

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove sin(a)cos(a)=cos^2(a)tan(a)

p ro v e sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)

prove sin(-pi/4)=-sin(pi/4)

p ro v e sin (- \frac{π}{4}) = - sin (\frac{π}{4})

prove sin(z+w)=sin(z)cos(w)+cos(z)sin(w)

p ro v e sin (z + w) = sin (z) cos (w) + cos (z) sin (w)

prove tan^2(x)=((1-cos(2x)))/(1+cos(2x))

p ro v e tan^{2} (x) = \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{1 + cos ( 2 x )}

prove cos(0)tan(0)=sin(0)

p ro v e cos (0) tan (0) = sin (0)