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verificar 2cos^2(x/2)=(sin^2(x))/(1-cos(x))

Solución

verificar

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Verdadero

Pasos de solución

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Sea:

u = \frac{x}{2}

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Verificar

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} :

Verdadero

2 cos^{2} (u) = \frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Manipular el lado izquierdo

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{sin ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Simplificar

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Factorizar

1 - cos^{2} (2 u) : - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

1 - cos^{2} (2 u)

Factorizar el termino común

- 1

= - (cos^{2} (2 u) - 1)

Factorizar

cos^{2} (2 u) - 1 : (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

cos^{2} (2 u) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= cos^{2} (2 u) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (2 u) - 1^{2} = (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - (cos (2 u) + 1) (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

Cancelar

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )} : cos (2 u) + 1

- \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{1 - cos ( 2 u )}

- cos (2 u) + 1 = - (cos (2 u) - 1)

= - \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{- ( cos ( 2 u ) - 1 )}

Simplificar

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) ( cos ( 2 u ) - 1 )}{cos ( 2 u ) - 1}

Eliminar los terminos comunes:

cos (2 u) - 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

= cos (2 u) + 1

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (u) - 1 + 1

Simplificar

= 2 cos^{2} (u)

= 2 cos^{2} (u)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Por lo tanto

2 cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sin ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

\frac{cot ( θ ) tan ( θ )}{sec ( θ )} = cos (θ)

sin (a) cos (a) = cos^{2} (a) tan (a)

(cos (x)) (tan (x)) (csc (x)) = 1

\frac{csc ( x ) tan ( x )}{1 + tan ( x )} = cos (x)

sin (- \frac{π}{4}) = - sin (\frac{π}{4})