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beweisen cot(2x)+csc(2x)=cot(x)

Lösung

beweisen

cot (2 x) + csc (2 x) = cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

cot (2 x) + csc (2 x) = cot (x)

Manipuliere die linke Seite

cot (2 x) + csc (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

cot (2 x) + csc (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + csc (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Vereinfache

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )} : \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

\frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} + \frac{1}{sin ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 = 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x - \frac{π}{2}) + sin (x + \frac{π}{2}) = 0

p ro v e sin (- x) + csc (x) = cot (x) \cdot cos (x)

p ro v e tan (4 5^{\circ} + x) + tan (4 5^{\circ} - x) = 2 sec (2 x)

p ro v e cos^{2} (8 x) - sin^{2} (8 x) = cos (16 x)

p ro v e cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (4 x)