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verificar (cos^2(θ))/(1+sin(θ))+sin(θ)=1

Solución

verificar

\frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ) = 1

Verdadero

Pasos de solución

\frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ) = 1

Manipular el lado derecho

\frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ)

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ) = 1

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} + sin (θ)

Cancelar

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )} : - sin (θ) + 1

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Factorizar

1 - sin^{2} (θ) : - (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

1 - sin^{2} (θ)

Factorizar el termino común

- 1

= - (sin^{2} (θ) - 1)

Factorizar

sin^{2} (θ) - 1 : (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

sin^{2} (θ) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= sin^{2} (θ) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (θ) - 1^{2} = (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= - (sin (θ) + 1) (sin (θ) - 1)

= - \frac{( sin ( θ ) + 1 ) ( sin ( θ ) - 1 )}{1 + sin ( θ )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (θ) + 1

= - (sin (θ) - 1)

Negar

- (sin (θ) - 1) = - sin (θ) + 1

= - sin (θ) + 1

= (- sin (θ) + 1) + sin (θ)

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= - sin (θ) + 1 + sin (θ)

Agrupar términos semejantes

= - sin (θ) + sin (θ) + 1

Sumar elementos similares:

- sin (θ) + sin (θ) = 0

= 1

= 1

= 1

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

sin (2 t) = 2 sin (t) cos (t)

sin (2 a) + cos (a) = cos (a) (2 sin (a) + 1)

\frac{csc ( x )}{2 cos ( x )} = csc (2 x)

tan^{2} (u) = \frac{1 - cos ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}