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beweisen (tan(x))/(csc(x))= 1/(cos(x))-1/(sec(x))

Lösung

beweisen

\frac{tan ( x )}{csc ( x )} = \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{sec ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ( x )}{csc ( x )} = \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{sec ( x )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ( x )}{csc ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{tan ( x )}{csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 1}

Fasse zusammen

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{sec ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{sec ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )}} : \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )}}

\frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )}} = cos (x)

\frac{1}{\frac{1}{c o s ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos (x)

= \frac{1}{cos ( x )} - cos (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

1 - cos (x) cos (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (b) + sin^{2} (b) = 1

p ro v e \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2 cos ( θ )} = cos (2 θ)

p ro v e 3 tan (x) = 4 sin (x)

p ro v e sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

p ro v e (sin (t)) cot (t) = cos (t)