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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cot^2(v/2)=((sec(v)+1))/((sec(v)-1))

Lösung

beweisen

cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{( sec ( v ) + 1 )}{( sec ( v ) - 1 )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{sec ( v ) + 1}{sec ( v ) - 1}

Angenommen:

u = \frac{v}{2}

cot^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

Beweise

cot^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1} :

Wahr

cot^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + sec ( 2 u )}{- 1 + sec ( 2 u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}} : \frac{cos ( 2 u ) + 1}{- cos ( 2 u ) + 1}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

zusammen:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= - \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

Füge

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

zusammen:

\frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) ( - cos ( 2 u ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 u)

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{- cos ( 2 u ) + 1}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + cos ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

Vereinfache

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )} : \frac{cos ^{2} ( u )}{- cos ^{2} ( u ) + 1}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

Multipliziere aus

1 - (2 cos^{2} (u) - 1) : - 2 cos^{2} (u) + 2

1 - (2 cos^{2} (u) - 1)

- (2 cos^{2} (u) - 1) : - 2 cos^{2} (u) + 1

- (2 cos^{2} (u) - 1)

Setze Klammern

= - (2 cos^{2} (u)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (u) + 1

= 1 - 2 cos^{2} (u) + 1

Vereinfache

1 - 2 cos^{2} (u) + 1 : - 2 cos^{2} (u) + 2

1 - 2 cos^{2} (u) + 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos^{2} (u) + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - 2 cos^{2} (u) + 2

= - 2 cos^{2} (u) + 2

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{- 2 cos ^{2} ( u ) + 2}

Faktorisiere

- 2 cos^{2} (u) + 2 : 2 (- cos^{2} (u) + 1)

- 2 cos^{2} (u) + 2

Schreibe um

= - 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- cos^{2} (u) + 1)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2 ( - cos ^{2} ( u ) + 1 )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ^{2} ( u )}{( - cos ^{2} ( u ) + 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{cos ^{2} ( u )}{- cos ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{- cos ^{2} ( u ) + 1}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( u ) cot ( u )}{sin ( u )}

= cot (u) \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (u) cot (u)

Vereinfache

cot (u) cot (u) : cot^{2} (u)

cot (u) cot (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (u) cot (u) = cot^{1 + 1} (u)

= cot^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (u)

cot^{2} (u)

cot^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{sec ( v ) + 1}{sec ( v ) - 1}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cot(3)=(cos(3))/(sin(3))

p ro v e cot (3) = \frac{cos ( 3 )}{sin ( 3 )}

beweisen cos(2θ)-cos(θ)+1=0

p ro v e cos (2 θ) - cos (θ) + 1 = 0

beweisen (-sin(-a))/(cos(-a))=tan(a)

p ro v e \frac{- sin ( - a )}{cos ( - a )} = tan (a)

beweisen (csc(z))/(sec(z))=cot(z)

p ro v e \frac{csc ( z )}{sec ( z )} = cot (z)

beweisen 2cos(x)sin(x)=sin(2x)

p ro v e 2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)