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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(A+B)+tan(A-B)=((2sin(2A)))/((cos(2A)+cos(2B)))

Lösung

beweisen

tan (A + B) + tan (A - B) = \frac{( 2 sin ( 2 A ) )}{( cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (A + B) + tan (A - B) = \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) + cos ( 2 B )}

Manipuliere die linke Seite

tan (A + B) + tan (A - B)

Drücke mit sin, cos aus

tan (A + B) + tan (A - B)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + tan (A - B)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

Vereinfache

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} : \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

cos (A + B), cos (A - B) : cos (A + B) cos (A - B)

cos (A + B), cos (A - B)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

cos (A + B)

oder

cos (A - B)

auftauchen.

= cos (A + B) cos (A - B)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos (A + B) cos (A - B)

Für

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (A - B)

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} = \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

Für

\frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (A + B)

\frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} = \frac{sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A - B ) cos ( A + B )}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )} + \frac{sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A - B ) cos ( A + B )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

Benutze die Identität von Produkt und Summe:

cos (s) cos (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) + cos (s + t))

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )}

Vereinfache

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )} : \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )}

Vereinfache

A + B + A - B : 2 A

A + B + A - B

Fasse gleiche Terme zusammen

= A + A + B - B

Addiere gleiche Elemente:

A + A = 2 A

= 2 A + B - B

Addiere gleiche Elemente:

B - B = 0

= 2 A

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A ) )}

Multipliziere

\frac{1}{2} (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) : \frac{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}{2}

\frac{1}{2} (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A ) )}{2}

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) = cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

Multipliziere:

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) = (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

= (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)

= \frac{cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A )}{2}

Multipliziere aus

A + B - (A - B) : 2 B

A + B - (A - B)

- (A - B) : - A + B

- (A - B)

Setze Klammern

= - (A) - (- B)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - A + B

= A + B - A + B

Vereinfache

A + B - A + B : 2 B

A + B - A + B

Fasse gleiche Terme zusammen

= A - A + B + B

Addiere gleiche Elemente:

A - A = 0

= B + B

Addiere gleiche Elemente:

B + B = 2 B

= 2 B

= 2 B

= \frac{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}{2}

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{c o s ( 2 B ) + c o s ( 2 A )}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) ) \cdot 2}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

Schreibe um

= sin (A + B) cos (A - B) + cos (A + B) sin (A - B)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (A + B) cos (A - B) + cos (A + B) sin (A - B)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= \frac{2 sin ( A + B + A - B )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

Vereinfache

A + B + A - B : 2 A

A + B + A - B

Fasse gleiche Terme zusammen

= A + A + B - B

Addiere gleiche Elemente:

A + A = 2 A

= 2 A + B - B

Addiere gleiche Elemente:

B - B = 0

= 2 A

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) + cos ( 2 B )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(3θ)=4cos^3(θ)-cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - cos (θ)

beweisen (1+csc(b))/(cot(b)+cos(b))=sec(b)

p ro v e \frac{1 + csc ( b )}{cot ( b ) + cos ( b )} = sec (b)

beweisen (1+tan^2(θ))/(tan(θ))=sec(θ)csc(θ)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

beweisen sin(4a)=2sin(2a)cos(2a)

p ro v e sin (4 a) = 2 sin (2 a) cos (2 a)

beweisen sin(2D)=2cot(D)sin^2(D)

p ro v e sin (2 D) = 2 cot (D) sin^{2} (D)