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beweisen cot^2(x)=(1+cos(2x))/(1-cos(2x))

Lösung

beweisen

cot^{2} (x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 + cos ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + cos ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Vereinfache

\frac{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )} : \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 2}{1 - ( - 2 sin ^{2} ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) + 2}{2 sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

- 2 sin^{2} (x) + 2 : 2 (- sin^{2} (x) + 1)

- 2 sin^{2} (x) + 2

Schreibe um

= - 2 sin^{2} (x) + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- sin^{2} (x) + 1)

= \frac{2 ( - sin ^{2} ( x ) + 1 )}{2 sin ^{2} ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

\frac{cos ( x ) cot ( x )}{sin ( x )}

= cot (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cot (x) cot (x)

Vereinfache

cot (x) cot (x) : cot^{2} (x)

cot (x) cot (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot (x) cot (x) = cot^{1 + 1} (x)

= cot^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cot^{2} (x)

cot^{2} (x)

cot^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 csc^{2} (x) + 1

p ro v e sin^{2} (t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 t)

p ro v e tan (x) = \frac{2 tan ( \frac{x}{2} )}{1 - tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

p ro v e 4 sin (x) cos (x) cos (2 x) = sin (4 x)