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beweisen sin(x)+cos(x)=(cot(x)+1)/(csc(x))

Lösung

beweisen

sin (x) + cos (x) = \frac{cot ( x ) + 1}{csc ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) + cos (x) = \frac{cot ( x ) + 1}{csc ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{cot ( x ) + 1}{csc ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + cot ( x )}{csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}} : sin (x) + cos (x)

\frac{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) sin ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )} sin ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= sin (x) + cos (x)

= sin (x) + cos (x)

= cos (x) + sin (x)

= sin (x) + cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (t) = 2 sin (t) cos (t)

p ro v e 1 - cos (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 + cos ( θ )}

p ro v e \frac{sin ( 2 x )}{sin ( x )} = \frac{2}{sec ( x )}

p ro v e \frac{2}{1 + cos ( 2 x )} = sec^{2} (x)

p ro v e cos (2 x) = - 2 sin (x^{2}) + 1