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beweisen (csc(θ)+1)/(1+sin(θ))=csc(θ)

Lösung

beweisen

\frac{csc ( θ ) + 1}{1 + sin ( θ )} = csc (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ( θ ) + 1}{1 + sin ( θ )} = csc (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ( θ ) + 1}{1 + sin ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + csc ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{1 + sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{1 + sin ( θ )} : \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{1 + sin ( θ )}

Füge

1 + \frac{1}{sin ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

1 + \frac{1}{sin ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ ) + 1}{s i n ( θ )}}{1 + sin ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ ) ( 1 + sin ( θ ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ) + 1

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (θ)

csc (θ)

csc (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (A) csc (A) = csc (A) tan (A)

p ro v e sin (x) \cdot tan (x) + cos (- x) = sec (x)

p ro v e cos (2 α) = cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

p ro v e \frac{tan ( x )}{1 + tan ^{2} ( x )} = cos (x) sin (x)

p ro v e 2 csc (2 x) = \frac{1}{sin ( x ) cos ( x )}