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beweisen sin^2(θ)=1-1/(sec^2(θ))

Lösung

beweisen

sin^{2} (θ) = 1 - \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (θ) = 1 - \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

1 - \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

1 - \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= 1 - \frac{1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

1 - \frac{1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : 1 - cos^{2} (θ)

1 - \frac{1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

\frac{1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} = cos^{2} (θ)

\frac{1}{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (θ) sec (θ) csc (θ) = 1 + tan^{2} (θ)

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{\frac{1}{c o s ( x )} - 1} = cos (x)

p ro v e sin (π - 0) = sin (0)

p ro v e csc^{2} (x) + 1 = cot^{2} (x) + 2

p ro v e \frac{sin ( x )}{cot ^{2} ( x )} = \frac{tan ^{2} ( x )}{csc ( x )}