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prouver (sin(2θ)+sin(θ))/(cos(2θ)+cos(θ)+1)=tan(θ)

Solution

prouver

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1} = tan (θ)

vrai

étapes des solutions

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1} = tan (θ)

En manipulant le côté gauche

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{cos ( 2 θ ) + cos ( θ ) + 1}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) - 1 + cos ( θ ) + 1}

2 cos^{2} (θ) - 1 + cos (θ) + 1 = 2 cos^{2} (θ) + cos (θ)

2 cos^{2} (θ) - 1 + cos (θ) + 1

Grouper comme termes

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ) + cos (θ)

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Simplifier

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )} : \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Factoriser le terme commun

sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) ( 2 cos ( θ ) + 1 )}{2 cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ )}

Factoriser

2 cos^{2} (θ) + cos (θ) : cos (θ) (2 cos (θ) + 1)

2 cos^{2} (θ) + cos (θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (θ) = cos (θ) cos (θ)

= 2 cos (θ) cos (θ) + cos (θ)

Factoriser le terme commun

cos (θ)

= cos (θ) (2 cos (θ) + 1)

= \frac{sin ( θ ) ( 2 cos ( θ ) + 1 )}{cos ( θ ) ( 2 cos ( θ ) + 1 )}

Annuler le facteur commun :

2 cos (θ) + 1

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (θ)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e 1 + (tan (a))^{2} = 1 + tan^{2} (a)

p ro v e 4 cos^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 4

p ro v e \frac{- cos ^{2} ( 2 θ )}{2} = \frac{- 1 - cos ( 4 θ )}{8}

p ro v e \frac{1 - cos ( x )}{- 1 + sec ( x )} = cos (x)

p ro v e 2 sin (y) cos (y) sec (2 y) = tan (2 y)