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verificar sin(67)=sin(42)cos(25)+cos(42)sin(25)

Solución

verificar

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Solución

Verdadero

Pasos de solución

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Manipular el lado izquierdo

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= sin (4 2^{\circ} + 2 5^{\circ})

Simplificar

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

en una fracción:

6 7^{\circ}

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

Mínimo común múltiplo de

30, 36 : 180

30, 36

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

30 : 2 \cdot 3 \cdot 5

30

30

divida por

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

divida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Descomposición en factores primos de

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

divida por

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

divida por

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

30

36

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180

= 180

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

4 2^{\circ} :

multiplicar el denominador y el numerador por

6

4 2^{\circ} = \frac{126 0 ^{\circ} 6}{30 \cdot 6} = 4 2^{\circ}

Para

2 5^{\circ} :

multiplicar el denominador y el numerador por

5

2 5^{\circ} = \frac{90 0 ^{\circ} 5}{36 \cdot 5} = 2 5^{\circ}

= 4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{756 0 ^{\circ} + 450 0 ^{\circ}}{180}

Sumar elementos similares:

756 0^{\circ} + 450 0^{\circ} = 1206 0^{\circ}

= 6 7^{\circ}

= sin (6 7^{\circ})

= sin (6 7^{\circ})

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar cos(90+30)=cos(120)verificar

cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos (12 0^{\circ})

verificar sin(θ)cos(θ)=sin(θ)verificar

sin (θ) cos (θ) = sin (θ)

verificar (1-cos(x))-cos(y)=sin(x+y)verificar

(1 - cos (x)) - cos (y) = sin (x + y)

verificar 1-sin(x)=cos^2(x)verificar

1 - sin (x) = cos^{2} (x)

verificar sin^2(θ)(1+cot^2(θ))-1=0 verificar

sin^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - 1 = 0