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受欢迎的三角函数 >

证明 sin(67)=sin(42)cos(25)+cos(42)sin(25)

解答

证明

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

解答

真

求解步骤

sin (6 7^{\circ}) = sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

调整右侧

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

使用三角恒等式改写

sin (4 2^{\circ}) cos (2 5^{\circ}) + cos (4 2^{\circ}) sin (2 5^{\circ})

使用角和恒等式:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= sin (4 2^{\circ} + 2 5^{\circ})

化简

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ} : 6 7^{\circ}

4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

30, 36

的最小公倍数:

180

30, 36

最小公倍数 (LCM)

30

质因数分解:

2 \cdot 3 \cdot 5

30

30

除以

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

除以

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3 \cdot 5

36

质因数分解:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

除以

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

除以

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

除以

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

将每个因子乘以它在

30

或

36

中出现的最多次数

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

数字相乘:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180

= 180

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

180

对于

4 2^{\circ} :

将分母和分子乘以

6

4 2^{\circ} = \frac{126 0 ^{\circ} 6}{30 \cdot 6} = 4 2^{\circ}

对于

2 5^{\circ} :

将分母和分子乘以

5

2 5^{\circ} = \frac{90 0 ^{\circ} 5}{36 \cdot 5} = 2 5^{\circ}

= 4 2^{\circ} + 2 5^{\circ}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{756 0 ^{\circ} + 450 0 ^{\circ}}{180}

同类项相加:

756 0^{\circ} + 450 0^{\circ} = 1206 0^{\circ}

= 6 7^{\circ}

= sin (6 7^{\circ})

= sin (6 7^{\circ})

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos(90+30)=cos(120)

p ro v e cos (9 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = cos (12 0^{\circ})

证明 1-sin(x)=cos^2(x)

p ro v e 1 - sin (x) = cos^{2} (x)

证明 1+cos(2x)+2sin^{(2)}(x)=2

p ro v e 1 + cos (2 x) + 2 sin^{(2)} (x) = 2

证明 1/(1+sin(x))+1/(1+csc(x))=1

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 + csc ( x )} = 1

证明 sin^2(θ)cos^2(θ)=1

p ro v e sin^{2} (θ) cos^{2} (θ) = 1