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Popular Trigonometria >

provar 1/2 cot(x)-1/2 tan(x)=cot(2x)

Solução

provar

\frac{1}{2} cot (x) - \frac{1}{2} tan (x) = cot (2 x)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{1}{2} cot (x) - \frac{1}{2} tan (x) = cot (2 x)

Manipular o lado direito

\frac{1}{2} cot (x) - \frac{1}{2} tan (x)

Expresar com seno, cosseno

cot (x) \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{2} = \frac{cos ( x )}{2 sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1}{sin ( x ) \cdot 2}

Multiplicar:

cos (x) \cdot 1 = cos (x)

= \frac{cos ( x )}{2 sin ( x )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x )}{2 cos ( x )}

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{2 cos ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{2 cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{2 sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{2 cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (x) 2, 2 cos (x) : 2 sin (x) cos (x)

sin (x) \cdot 2, 2 cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Mínimo múltiplo comum de

2, 2 : 2

2, 2

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

2

= 2

Multiplicar os números:

2 = 2

= 2

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (x) 2

quanto em

2 cos (x)

= 2 sin (x) cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{sin ( x ) \cdot 2 cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{2 cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{2 cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar cos(x+pi/6)=(sqrt(3))/2 cos(x)-1/2 sin(x)

p ro v e cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

provar (2cos^2(x))/(sin(2x))= 1/(tan(x))

p ro v e \frac{2 cos ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{tan ( x )}

provar cos(-2θ)=cos(2θ)

p ro v e cos (- 2 θ) = cos (2 θ)

provar 1-cos^2(x)=tan(x)

p ro v e 1 - cos^{2} (x) = tan (x)

provar cot(2x)=(1/2)(cot(x)-tan(x))

p ro v e cot (2 x) = (\frac{1}{2}) (cot (x) - tan (x))