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verificar cos(θ)(1/(1-sin(θ)))=sec(θ)+tan(θ)

Solución

verificar

cos (θ) (\frac{1}{1 - sin ( θ )}) = sec (θ) + tan (θ)

Verdadero

Pasos de solución

cos (θ) \frac{1}{1 - sin ( θ )} = sec (θ) + tan (θ)

Manipular el lado derecho

cos (θ) \frac{1}{1 - sin ( θ )}

Simplificar

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

Manipular el lado izquierdo

sec (θ) + tan (θ)

Expresar con seno, coseno

sec (θ) + tan (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} + tan (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

\frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 + sin ( θ )}{cos ( θ )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

Multiplicar

\frac{1 - sin ( θ )}{1 - sin ( θ )}

por

Eq u a t i o n 1

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Expandir

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{( 1 - sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Eliminar los terminos comunes:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )}

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

2 sin (a + b) sin (a - b) = cos (2 b) - cos (2 a)

\frac{1}{sin ( x )} = 2

(cos (θ) - sin (θ))^{2} = 1 + sin (2 θ)

(4 sin (θ) + 4 cos (θ)) = 16 + 16 sin (2 θ)

5 sec^{2} (x) = 5 sec^{2} (- x)